Ele estabelece que é possível dividir uma esfera sólida em um número finito de pedaços (em um caso particular Raphael M. Robinson dividiu em exatamente cinco pedaços), e com estes pedaços construir duas esferas, do mesmo tamanho da original. É considerado um paradoxo por ser um resultado contra intuitivo, mas não por ser contraditório ou por introduzir contradições.
Naturalmente não é possível cortar desta forma uma esfera real, como uma laranja, com uma faca real. Trata-se de uma abstração matemática. A demonstração prova a existência teórica de uma forma de repartir a esfera com estas características. Não há uma prova construtivista, isto é, que descreva a maneira pela qual a esfera deve ser repartida. A demonstração faz uso do axioma da escolha.
Banach e Tarski propuseram este paradoxo como uma evidência para se rejeitar o axioma da escolha, mas os matemáticos apenas consideram que o axioma da escolha tem consequências bizarras e contra intuitivas.
De acordo a demonstração do axioma da escolha a esfera é um conjunto, que pode ser repartido de n maneiras. Porém para usarmos o axioma necessitamos dividir a esfera em partes iguais, para dele podermos escolher um pedaço que será igual ao anterior, pois no conjunto anterior (esfera 1) eles eram constituídos da mesma coisa, e agora ainda são, portanto são iguais.
Naturalmente não é possível cortar desta forma uma esfera real, como uma laranja, com uma faca real. Trata-se de uma abstração matemática. A demonstração prova a existência teórica de uma forma de repartir a esfera com estas características. Não há uma prova construtivista, isto é, que descreva a maneira pela qual a esfera deve ser repartida. A demonstração faz uso do axioma da escolha.
Banach e Tarski propuseram este paradoxo como uma evidência para se rejeitar o axioma da escolha, mas os matemáticos apenas consideram que o axioma da escolha tem consequências bizarras e contra intuitivas.
De acordo a demonstração do axioma da escolha a esfera é um conjunto, que pode ser repartido de n maneiras. Porém para usarmos o axioma necessitamos dividir a esfera em partes iguais, para dele podermos escolher um pedaço que será igual ao anterior, pois no conjunto anterior (esfera 1) eles eram constituídos da mesma coisa, e agora ainda são, portanto são iguais.
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