Paradoxo de São Petersburgo

Considerado um dos mais famosos paradoxos em teoria das probabilidades. Foi publicado pela primeira vez em 1738 em um artigo pelo matemático Daniel Bernoulli, embora tenha sido introduzido pelo seu primo Nicolau I Bernoulli em 1713.

O problema é o seguinte: suponhamos que Pedro e Paulo concordam em jogar um jogo de cara ou coroa. Se o primeiro lance der cara, Paulo dará duas moedas a Pedro; se o primeiro lance der coroa e o segundo der cara, Paulo dará a Pedro quatro moedas. Se cara só aparece no terceiro lance, Pedro receberá oito moedas. Em resumo, se só aparecer cara no n-ésimo lance, Pedro receberá 2 elevado a n moedas. Então, quanto deve Pedro pagar a Paulo pelo privilégio de jogar tal jogo?

O senso comum sugere uma soma finita muito modesta, mas a inacreditável resposta para esta pergunta é que Pedro pode pagar a Paulo qualquer quantia, digamos um milhão de moedas, por cada jogo e ainda esperar sair como vencedor. Em qualquer jogo simples, a probabilidade de Pedro ganhar duas moeda é 1/2, de ganhar 4 moedas é 1/4, de ganhar 8 moedas é 1/8 e assim por diante. Então, o total que Pedro pode esperar ganhar é dado pela série que tem soma infinita. Ou seja, não importa qual quantia (finita) Pedro pague a Paulo por cada jogo, ele sempre ganhará se for realizado um número suficiente de jogos. Para tanto estamos assumindo que o capital de Paulo e o número de jogos que os dois podem jogar são ilimitados.

Diversas explicações foram dadas para o paradoxo durante o século XVIII, embora algumas pessoas tenham preferido, como solução, observar que o problema é inerentemente impossível, pois a fortuna de Paulo é necessariamente finita; portanto, ele não poderia pagar as somas ilimitadas que poderiam ser necessárias no caso de uma longa demora no aparecimento de cara.

Paradoxo de Epicuro

Um dilema lógico sobre o problema do mal atribuído ao filósofo grego Epicuro que argumenta contra a existência de um deus que seja ao mesmo tempo onisciente, onipotente e benevolente. Assim podemos denominar este paradoxo.

A lógica do paradoxo proposto por Epicuro toma três características do deus judaico, omnipotência, onisciência e onibenevolência como, caso verdadeiras aos pares, excludentes de uma terceira. Isto é, se duas delas forem verdade, excluem automaticamente a outra. Trata-se, portanto, de um trilema. Isto tem relevância pois, caso seja ilógico que uma destas características seja verdadeira, então não pode ser o caso que um deus com as três exista.

- Enquanto onisciente e onipotente, tem conhecimento de todo o mal e poder para acabar com ele. Mas não o faz. Então não é onibenevolente.

- Enquanto omnipotente e onibenevolente, então tem poder para extinguir o mal e quer fazê-lo, pois é bom. Mas não o faz, pois não sabe o quanto mal existe e onde o mal está. Então ele não é omnisciente.

- Enquanto omnisciente e omnibenevolente, então sabe de todo o mal que existe e quer mudá-lo. Mas não o faz, pois não é capaz. Então ele não é omnipotente.

Paradoxo do Corvo

Uma das concepções da epistemologia da ciência, no caso, da teoria verificacionista de fundamentação de uma teoria científica, é de que casos particulares corroboram com asserções universais. Assim, "Este corvo é preto" corrobora com "Todos corvos são pretos". Hempel questionou isto com o seguinte paradoxo:

"Todos corvos são pretos" é logicamente equivalente a "Tudo que não é preto não é corvo".

∀x(Cx → Px) ≡ ∀x(¬Px → ¬Cx)
Assim, se ∃x(Cx ∧ Px) corrobora com ∀x(Cx→Px),
então ∃x(¬Cx ∧ ¬Px) corrobora com ∀x(¬Px→¬Cx) que,
sendo aquivalente a ∀x(Cx→Px), esta seria corroborada também.

Isto quer dizer que, se "Este corvo é preto" corrobora com "Todos corvos são pretos", então "Este não-corvo não é preto" corrobora com "Tudo que não é preto não é corvo" que, sendo equivalente a "Todos os corvos são pretos", esta seria corroborada também. Ou seja, se aceitarmos que casos particulares corroboram com asserções universais, deveríamos aceitar que a verdade de "Esta maçã é vermelha" ou "Aquela folha é verde" corrobora com "todos corvos são pretos".

Não se trata aqui de um paradoxo no sentido estrito da palavra. Afinal não há uma contradição. Isso consiste mais em uma demonstração de que se a teoria verificacionista procedesse, ter-se-ia de aceitar que banalidades quaisquer corroboram com uma teoria científica.

Paradoxo da Loteria

O paradoxo da loteria de Henry E. Kyburg, Jr. surge ao considerar que em 1000 bilhetes de loteria, se forem justos, tem exatamente um bilhete vencedor. Se esse fato é conhecido sobre a realização do sorteio, por isso, é racional aceitar que algum bilhete será o vencedor. Suponha que um evento é muito provável apenas se a probabilidade deste acontecer é maior que 0.99.

Com isso é racional aceitar a proposição que o bilhete 1 da loteria não ganhará. Partido do principio que a loteria é justa, é racional aceitar que o bilhete 2 não ganhará, de fato; é racional aceitar que para qualquer bilhete i da loteria, este não ganhará. Entretanto, aceitando que o bilhete 1 não ganhará, aceitando que o bilhete 2 não ganhará, e expandindo, até aceitar que o bilhete 1000 não ganhará: isso implica que é racional aceitar que nenhum bilhete ganhará, o que implica que é racional aceitar a contraditória proposição que um bilhete vence e nenhum bilhete vence. 
O paradoxo da loteria foi construído para demonstrar que os três princípios que regem a aceitação raciona levam a contradição, são:

• É racional aceitar que uma proposição que é muito provável é verdadeira

• É irracional aceitar que uma proposição que é conhecida é inconsistente, e

• Se é racional aceitar uma proposição A e se é racional aceitar uma outra proposição A', então é racional aceitar A & A', são conjuntamente inconsistente.

Paradoxo do Elevador

O paradoxo do elevador é um paradoxo notado primeiramente por Marvin Stern e George Gamow, físicos que tinham escritórios em andares diferentes de um prédio com muitos andares. Gamow, que tinha um escritório perto da parte de baixo do prédio notou que o primeiro elevador a parar no andar dele ia, na maioria das vezes, para baixo; enquanto Stern, que tinha um escritório mais alto, notou que o primeiro elevador a parar no andar dele ia mais frequentemente para cima.

 

Se um elevador está no topo do prédio, todos os elevadores virão de baixo (nenhum pode vir de cima), e então partem para baixo, enquanto se um está no penúltimo andar, um elevador indo pro topo irá passar primeiro na subida e, pouco tempo depois, na descida - daí, enquanto um número igual passará para cima e para baixo, nos andares de baixo, os elevadores vão geralmente seguir os elevadores de cima (a menos que o elevador fique pairando sob o último andar), e daí o primeiro elevador observado vai usualmente estar subindo. O primeiro elevador observado estará descendo somente se for observado num pequeno instante depois que um elevador passar subindo, enquanto o resto do tempo o primeiro elevador observado estará subindo.

Um único elevador passa a maior parte de seu tempo na maior seção do prédio, e daí é mais provável que se aproxime daquela direção quando o futuro usuário do elevador chegar.

Paradoxo de Giffen

Em economia, um Bem de Giffen é um produto para o qual um aumento do preço faz aumentar a sua demanda. Este comportamento é diferente da maioria dos produtos, que são mais procurados à medida que seu preço cai. Em termos microeconômicos, a elasticidade-preço da demanda por Bens de Giffen é positiva e, por consequência, sua curva de demanda é crescente. Outra repercussão microeconômica é que seu efeito renda é maior que o efeito substituição.

Um exemplo de Bem de Giffen é o pão, assim como outros produtos básicos. Uma elevação moderada dos preços de pão pode levar a um maior consumo de pão, principalmente em famílias pobres, pois não há outro bem barato e acessível capaz de substituir o pão em sua dieta. Dessa forma, maiores gastos com pão levariam a uma redução do consumo de outros produtos alimentícios, o que obrigaria os mais pobres a consumir mais pão para sobreviver.

Paradoxo de Pinóquio

Podemos dizer que o paradoxo do Pinóquio é o resultado gerado por um conflito de lógica baseado na famosa história infantil do boneco Pinóquio, cujo nariz crescia sempre que o mesmo contava uma mentira.

Esse conflito se ilustra imaginando o Pinóquio dizendo a frase: meu nariz vai crescer agora. Neste caso, duas hipóteses, igualmente válidas poderiam acontecer: 1º O nariz de Pinóquio não cresce. Então ele disse uma mentira, portanto, o nariz deve crescer; 2º O nariz de Pinóquio cresce. Então ele disse uma verdade, portanto, o nariz dele não tinha motivo para ter crescido.

Em ambos os casos, seria gerada uma contradição, pois, se o nariz cresce, ele não deveria ter crescido e, se não cresce, deveria ter crescido.

Uma possível solução do paradoxo, teoricamente formulada primeiramente pelo professor de Física brasileiro Fabio Miranda Rodrigues, diz que a premissa "se Pinóquio mente, então seu nariz cresce" não diz nada acerca do que acontece com o nariz de Pinóquio quando ele diz a verdade, significando que seu nariz poderia crescer mesmo que ele dissesse a verdade.
Estranho, mas com fundamento.

Paradoxo do Cavalo

Um paradoxo que surge pela falsa demonstração da proposição onde todos os cavalos são da mesma cor. Como caso de base, nós podemos observar que num conjunto que contém um único cavalo, todos os cavalos são claramente da mesma cor. Se supusermos que a proposição é verdadeira para todos os conjuntos de dimensão inferior a n e para os de dimensão n, então se houver n+1 cavalos num conjunto, retiramos um deles para obter um conjunto resultante com n cavalos, e pela suposição de indução, todos os cavalos nesse conjunto são da mesma cor.

Fica por demonstrar que esta cor é a mesma que a do cavalo que retiramos. O correto a fazer é devolver o primeiro cavalo, retirar outro e aplicar outra vez o princípio da indução a este conjunto de n cavalos. Assim todos os cavalos num conjunto de n+1 cavalos são da mesma cor. Pelo princípio de indução, estabelecemos que todos os cavalos são da mesma cor.

O erro na "demonstração" anterior descobre-se ao analisar o raciocínio: faz-se a suposição implícita de que os dois subconjuntos de cavalos aos quais se aplicou a suposição de indução têm um elemento comum, mas isto falha quando n=2.

Este paradoxo é simplesmente o resultado de um raciocínio erróneo. Mostra assim os problemas que se produzem quando se deixam de considerar casos específicos para os quais uma proposição geral pode ser falsa.

Paradoxo dos Gêmeos

O Paradoxo dos Gêmeos, ou Paradoxo de Langevin, é um experimento mental envolvendo a dilatação temporal, uma das consequências da Relatividade restrita. Nele, um homem que faz uma viagem ao espaço numa nave de grande velocidade, voltará em casa mais novo que seu gêmeo que ficou em Terra, movendo-se a velocidades cotidianas.

Paradoxo do Grand Hotel de Hilbert

Todo mundo já ficou hospedado em algum hotel um dia. Alguns fizeram reservas antecipadas, outros na sorte, conseguiram um quarto na hora. Mas o problema a ser questionado é: E se o hotel com infinitos quartos (todos ocupados) pudesse ainda poder receber mais hóspedes?

Impossível? Não para o paradoxo do Grand Hotel de Hilbert, que faz com que a recepção consiga acomodar novos hóspedes, no quarto 0. Quem estava no quarto 0, vai para o quarto 1 e assim sucessivamente. Caso o hotel seja descrito por letras, o hóspede do quarto N, vai para o N1 e assim por diante.

Uma boa alternativa para as altas temporadas!

O Paradoxo do Onipotente

O paradoxo afirma que se Deus é onipotente, então ele pode limitar sua própria capacidade de executar ações e, portanto, não pode realizar todas as ações, mas, por outro lado, se ele não pode limitar as suas próprias ações, então, existe algo que ele não pode fazer. Isto parece implicar que a capacidade de um ser onipotente se limitar significa necessariamente que ele será, na verdade, limitado.

Este paradoxo é frequentemente formulada em termos do Deus das religiões abraâmicas, embora este não é um requisito.

Uma versão do paradoxo onipotência é o chamado paradoxo da pedra: "Pode Deus criar uma pedra tão pesada que ele mesmo não pode levantar?" Se "sim", então parece que ele não é onipotente, se "não", parece que o ser não era onipotente para começar.

Paradoxo de Zenão

Paradoxos de Zenão são um conjunto de problemas filosóficos geralmente pensado para conceber as ideias do filósofo grego Zenão de Elea (ca. 490-430 aC) que apoia a doutrina de Parmênides de que "tudo é um", e que, ao contrário da evidência dos sentidos, a crença na pluralidade é uma enganação, e em particular que o movimento nada mais é que uma ilusão.

Costuma-se supor, com base no Parmênides de Platão 128c-d, que Zeno assumiu o projeto de criar esses paradoxos porque outros filósofos tinham criado paradoxos contra a opinião de Parmênides. Assim Zeno pode ser interpretado como o pensador que diz que há pluralidade é ainda mais absurdo do que assumir que o "One". (Parmênides 128d).

O que é um Paradoxo?

Um paradoxo é um argumento que produz uma inconsistência, normalmente dentro de lógica ou bom senso. A maioria dos paradoxos lógicos são conhecidos por serem argumentos inválidos, mas ainda são importantes na promoção do pensamento crítico. Erros No entanto, alguns revelaram nas definições assumido ser rigoroso, e ter causado axiomas da matemática e da lógica de ser re-examinado (por exemplo, o paradoxo de Russell). Ainda outros, como o paradoxo de Curry, ainda não estão resolvidas. No uso comum, a palavra "paradoxo", muitas vezes refere-se a ironia ou contradição. Exemplos fora lógica incluem o paradoxo do avô da física, eo Navio de Teseu de filosofia. Paradoxos também pode assumir a forma de imagens ou outros meios de comunicação. Por exemplo, M.C. Escher destaque paradoxos baseados em perspectiva em muitos de seus desenhos.